Le nombre d'or est une proportion considérée comme la plus parfaite et la plus harmonieuse depuis l'Antiquité. Il constitue la base de nombreuses structures anciennes, des statues aux temples, et est très répandu dans la nature. En même temps, cette proportion s'exprime dans des constructions mathématiques étonnamment élégantes.
Instructions
Étape 1
La proportion d'or est définie comme suit: c'est une telle division d'un segment en deux parties que la plus petite se réfère à la plus grande de la même manière que la plus grande se réfère à l'ensemble du segment.
Étape 2
Si la longueur du segment entier est prise pour 1, et la longueur de la plus grande partie est prise pour x, alors la proportion recherchée sera exprimée par l'équation:
(1 - x) / x = x / 1.
En multipliant les deux côtés de la proportion par x et en transférant les termes, on obtient l'équation quadratique:
x ^ 2 + x - 1 = 0.
Étape 3
L'équation a deux racines réelles, dont nous ne nous intéressons naturellement qu'à la positive. Il est égal à (√5 - 1) / 2, ce qui est approximativement égal à 0, 618. Ce nombre exprime le nombre d'or. En mathématiques, il est le plus souvent désigné par la lettre.
Étape 4
Le nombre possède un certain nombre de propriétés mathématiques remarquables. Par exemple, même à partir de l'équation originale, on voit que 1 / φ = φ + 1. En effet, 1 / (0, 618) = 1, 618.
Étape 5
Une autre façon de calculer le nombre d'or est d'utiliser une fraction infinie. À partir de n'importe quel x arbitraire, vous pouvez construire séquentiellement une fraction:
X
1 / (x + 1)
1 / (1 / (x + 1) + 1)
1 / (1 / (1 / (x + 1) + 1) +1)
etc.
Étape 6
Pour faciliter les calculs, cette fraction peut être représentée comme une procédure itérative, dans laquelle pour calculer l'étape suivante, vous devez en ajouter une au résultat de l'étape précédente et diviser une par le nombre obtenu. En d'autres termes:
x0 = x
x (n + 1) = 1 / (xn + 1).
Ce processus converge, et sa limite est φ + 1.
Étape 7
Si on remplace le calcul de l'inverse par l'extraction de la racine carrée, c'est-à-dire qu'on effectue une boucle itérative:
x0 = x
x (n + 1) = (xn + 1), alors le résultat restera inchangé: quel que soit le x initialement choisi, les itérations convergent vers la valeur φ + 1.
Étape 8
Géométriquement, le nombre d'or peut être construit en utilisant un pentagone régulier. Si nous y dessinons deux diagonales qui se croisent, chacune d'elles divisera l'autre strictement dans le nombre d'or. Cette observation, selon la légende, appartient à Pythagore, qui a été tellement choqué par le modèle trouvé qu'il considérait la bonne étoile à cinq branches (pentagramme) comme un symbole divin sacré.
Étape 9
Les raisons pour lesquelles c'est le nombre d'or qui semble à une personne le plus harmonieux sont inconnues. Cependant, des expériences ont confirmé à plusieurs reprises que les sujets qui ont reçu l'ordre de diviser le segment en deux parties inégales le font le plus magnifiquement dans des proportions très proches du nombre d'or.
